Χαρακτήρες διαιρετότητας — ΜΚΔ, ΕΚΠ και ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Πριν αρχίσουμε τις διαιρέσεις, υπάρχουν μερικά γρήγορα κόλπα. Με μια ματιά μπορούμε να καταλάβουμε αν ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 2, το 3, το 5 ή το 9.

• Με το 2: όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι ζυγό (0, 2, 4, 6, 8).
• Με το 5: όταν τελειώνει σε 0 ή σε 5.
• Με το 10: όταν τελειώνει σε 0.
• Με το 3: όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3.
• Με το 9: όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.

Για παράδειγμα, το 342 διαιρείται με το 3, γιατί 3 + 4 + 2 = 9 και το 9 διαιρείται με το 3. Διαιρείται και με το 9, για τον ίδιο λόγο.

Ένας αριθμός λέγεται πρώτος όταν διαιρείται μόνο με το 1 και με τον εαυτό του: 2, 3, 5, 7, 11, 13… Κάθε άλλος αριθμός λέγεται σύνθετος και μπορεί να γραφτεί σαν γινόμενο πρώτων.

Αυτό το γινόμενο είναι μοναδικό για κάθε αριθμό. Όποια σειρά κι αν ακολουθήσεις, καταλήγεις πάντα στους ίδιους πρώτους παράγοντες.

Δύο έννοιες που μοιάζουν και μπερδεύονται συνέχεια. Η μία κοιτάζει προς τα πάνω, στους αριθμούς που φτιάχνει ένας αριθμός· η άλλη προς τα κάτω, στους αριθμούς που τον χωρίζουν.

• Πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι όσα προκύπτουν αν τον πολλαπλασιάσουμε με 0, 1, 2, 3, … — είναι άπειρα.
• Κάθε αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του.
• Το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών, χωρίς να μετράμε το μηδέν, λέγεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ).

• Διαιρέτες ενός αριθμού είναι όσοι τον διαιρούν ακριβώς — είναι πεπερασμένοι, και ο μεγαλύτερος από όλους είναι ο ίδιος ο αριθμός.
• Κάθε αριθμός έχει πάντα διαιρέτες τουλάχιστον το 1 και τον εαυτό του.
• Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης δύο αριθμών λέγεται Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ).

Όταν δύο αριθμοί δεν έχουν κανέναν κοινό διαιρέτη πέρα από το 1 — δηλαδή ο ΜΚΔ τους είναι 1 — λέγονται πρώτοι μεταξύ τους. Δεν σημαίνει ότι ο καθένας τους είναι πρώτος αριθμός· σημαίνει ότι δεν μοιράζονται τίποτα.

Ένας εύκολος έλεγχος: ο ΜΚΔ δεν ξεπερνά ποτέ τον μικρότερο από τους δύο αριθμούς, και το ΕΚΠ δεν πέφτει ποτέ κάτω από τον μεγαλύτερο. Αν το αποτέλεσμά σου παραβιάζει ένα από τα δύο, κάτι πήγε στραβά.

Δεν χρειάζεται να γράψουμε λίστες με διαιρέτες και πολλαπλάσια. Αν αναλύσουμε τους δύο αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, και ο ΜΚΔ και το ΕΚΠ διαβάζονται κατευθείαν από εκεί.

• Αναλύω και τους δύο αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
• Για τον ΜΚΔ κρατάω μόνο τους κοινούς παράγοντες, τον καθένα με τη μικρότερη δύναμη που εμφανίζεται.
• Για το ΕΚΠ κρατάω όλους τους παράγοντες που εμφανίζονται, τον καθένα με τη μεγαλύτερη δύναμη.

Με απλά λόγια: ο ΜΚΔ φτιάχνεται από όσα έχουν και οι δύο αριθμοί, ενώ το ΕΚΠ από όλα όσα έχει έστω και ο ένας. Γι᾽ αυτό ο ΜΚΔ βγαίνει πάντα μικρός και το ΕΚΠ μεγάλο.